一元函数微分学

微分公式及泰勒公式

微分公式

1. 常数函数
   $$ \frac{d}{dx}(C) = 0 \quad (C为常数) $$

2. 幂函数
   $$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \quad (n为实数) $$

3. 指数函数
   $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x, \quad \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \quad (a > 0且a \neq 1) $$

4. 对数函数
   $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0且a \neq 1) $$

5. 三角函数
   $$ \begin{align*} &\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x, \quad \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \\ &\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x, \quad \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x, \\ &\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x, \quad \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \end{align*} $$

6. 反三角函数
   $$ \begin{align*} &\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \\ &\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}, \quad \frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1 + x^2} \end{align*} $$

7. 双曲函数
   $$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x, \quad \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $$

运算法则

1. n阶导数表示
   • 函数 f(x) 的n阶导数记作：$\frac{d^n f(x)}{dx^n}$ 或 f⁽ⁿ⁾(x)
     
   • 例：二阶导数 $\frac{d^2 f(x)}{dx^2}$ 或 f^″(x)
2. 常见函数的n阶导数
   • 幂函数：(x^a)⁽ⁿ⁾ = a(a − 1)⋯(a − n + 1)x^a − n（当 a > n 时）
     
   • 指数函数：(e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x，(a^x)⁽ⁿ⁾ = a^x(ln a)ⁿ
     
   • 正弦函数：$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
     
   • 余弦函数：$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
     
   • 对数函数：$(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

泰勒展开

1. 指数函数：e^x

$$ \begin{align*} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \end{align*} $$

2. 正弦函数：sin x

$$ \begin{align*} \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \end{align*} $$

3. 余弦函数：cos x

$$ \begin{align*} \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \end{align*} $$

4. 自然对数：ln (1 + x)

$$ \begin{align*} \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \quad (-1 < x \leq 1) \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + \cdots \end{align*} $$

5. 幂函数：(1 + x)^α

$$ \begin{align*} (1+x)^\alpha &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \quad (|x| < 1) \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots \end{align*} $$ （其中 $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$）

6. 反正切函数：arctan x

$$ \begin{align*} \arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \quad (|x| \leq 1) \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots \end{align*} $$

7. 指数函数：e^−x2

$$ \begin{align*} e^{-x^2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} + \cdots \end{align*} $$

8. 双曲函数

8.1 双曲正弦：sinh x

$$ \begin{align*} \sinh x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align*} $$

8.2 双曲余弦：cosh x

$$ \begin{align*} \cosh x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \end{align*} $$

9. 对数函数：$\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$$ \begin{align*} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2x^{2n+1}}{2n+1} \quad (|x| < 1) \\ &= 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots\right) \end{align*} $$