一元函数微分学

微分公式及泰勒公式

微分公式

1. 常数函数
   $$ \frac{d}{dx}(C) = 0 \quad (C为常数) $$

2. 幂函数
   $$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \quad (n为实数) $$

3. 指数函数
   $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x, \quad \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \quad (a > 0且a \neq 1) $$

4. 对数函数
   $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0且a \neq 1) $$

5. 三角函数
   $$ \begin{align*} &\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x, \quad \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \\ &\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x, \quad \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x, \\ &\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x, \quad \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \end{align*} $$

6. 反三角函数
   $$ \begin{align*} &\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \\ &\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}, \quad \frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1 + x^2} \end{align*} $$

7. 双曲函数
   $$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x, \quad \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $$

运算法则

1. n阶导数表示
   • 函数 f(x) 的n阶导数记作：$\frac{d^n f(x)}{dx^n}$ 或 f⁽ⁿ⁾(x)
     
   • 例：二阶导数 $\frac{d^2 f(x)}{dx^2}$ 或 f^″(x)
2. 常见函数的n阶导数
   • 幂函数：(x^a)⁽ⁿ⁾ = a(a − 1)⋯(a − n + 1)x^a − n（当 a > n 时）
     
   • 指数函数：(e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x，(a^x)⁽ⁿ⁾ = a^x(ln a)ⁿ
     
   • 正弦函数：$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
     
   • 余弦函数：$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
     
   • 对数函数：$(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

泰勒展开

1. 指数函数：e^x $$ \begin{align*} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \end{align*} $$

2. 正弦函数：sin x $$ \begin{align*} \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \end{align*} $$

3. 余弦函数：cos x $$ \begin{align*} \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \end{align*} $$

4. 自然对数：ln (1 + x) $$ \begin{align*} \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \quad (-1 < x \leq 1) \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + \cdots \end{align*} $$

5. 幂函数：(1 + x)^α $$ \begin{align*} (1+x)^\alpha &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \quad (|x| < 1) \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots \end{align*} $$ （其中 $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$）

6. 反正切函数：arctan x $$ \begin{align*} \arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \quad (|x| \leq 1) \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots \end{align*} $$

7. 指数函数：e^−x2 $$ \begin{align*} e^{-x^2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} + \cdots \end{align*} $$

8. 双曲函数

8.1 双曲正弦：sinh x $$ \begin{align*} \sinh x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align*} $$

8.2 双曲余弦：cosh x $$ \begin{align*} \cosh x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (x \in \mathbb{R}) \\ &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \end{align*} $$ 9. 对数函数：$\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ $$ \begin{align*} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2x^{2n+1}}{2n+1} \quad (|x| < 1) \\ &= 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots\right) \end{align*} $$

常用公式

1. 曲率圆：

% 1. 曲率公式

% 直角坐标形式 y = f(x) [ K = ] % 参数方程形式 (x=φ(t), y=ψ(t)) [ K = ]

% 2. 曲率半径公式（R = 1/|K|）

% 直角坐标形式 [ R = (y’’ ) ] % 参数方程形式 [ R = ]

% 3. 曲率圆相关公式（点 M(x₀,y₀) 处）

% 曲率中心（圆心）C(ξ, η) 坐标 [ = x_0 - , = y_0 + ] % 曲率圆方程（半径 R，圆心 (ξ, η)） [ (x - )^2 + (y - )^2 = R^2 ]

2. 微分方程的各种解：

一阶非齐次线性微分方程：

一阶非齐次线性微分方程的标准形式为： [ + P(x)y = Q(x) ] 其中，( P(x) ) 和 ( Q(x) ) 是已知连续函数，( Q(x) )（否则为齐次方程）。

1. 通解公式 其通解可通过「常数变易法」推导，公式为： [ y = e^{-P(x)dx} ( Q(x) e^{P(x)dx} dx + C ) ] 其中：

• ( C ) 为任意常数；
• ( e^{P(x)dx} ) 称为该方程的「积分因子」（记为 ( (x) )）；
• 积分 ( P(x)dx ) 和 ( Q(x) e^{P(x)dx} dx ) 均指某一原函数（省略积分常数，因最终由 ( C ) 统一表示）。

伯努利方程 1. 标准形式
伯努利方程是一类可转化为线性方程的一阶非线性微分方程，标准形式为： [ + P(x)y = Q(x)y^n ] 其中： - ( P(x), Q(x) ) 是已知连续函数； - ( n ) 是常数，且 ( n , 1 )（当 ( n=0 ) 时为一阶非齐次线性方程，( n=1 ) 时为一阶齐次线性方程）。

2. 求解核心：变量替换 通过变量替换将其转化为一阶线性方程：
   设 ( z = y^{1-n} )（因 ( n )，该替换有效），则： [ = (1 - n)y^{-n} = y^n ] 代入原方程并化简，得一阶线性方程： [ + (1 - n)P(x)z = (1 - n)Q(x) ]

3. 通解公式 利用一阶非齐次线性方程的通解公式求解上述转化后的方程，再换回变量 ( y )，得伯努利方程的通解： [ y^{1 - n} = e^{-(1 - n)P(x)dx} ( (1 - n)Q(x) e^{(1 - n)P(x)dx} dx + C ) ] 其中：

• ( C ) 为任意常数；
• 积分 ( P(x)dx ) 表示某一原函数（省略积分常数，由 ( C ) 统一体现）。

欧拉方程、

1. 标准形式
   欧拉方程是一类特殊的变系数线性微分方程，其标准形式为： [ x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + + a_1 x y’ + a_0 y = f(x) ] 其中 ( a_0, a_1, , a_{n-1} ) 为常数，( x > 0 )（定义域通常取 ( x > 0 )，( x < 0 ) 可通过变量替换 ( x = -t ) 转化）。

最常用的是二阶欧拉方程： [ x^2 y’’ + a x y’ + b y = f(x) (a, b ) ]

1. 求解核心：变量替换 通过变量替换将变系数方程转化为常系数线性微分方程：
   令 ( x = e^t )（即 ( t = x )，( x > 0 )），则导数关系为： [ = , = ( - ) ] 记 ( D = )（微分算子），则： [ x y’ = D y, x^2 y’’ = D(D - 1)y ]

2. 齐次欧拉方程的通解（( f(x) = 0 )） 对二阶齐次欧拉方程 ( x^2 y’’ + a x y’ + b y = 0 )，代入变量替换后转化为： [ D(D - 1)y + a D y + b y = 0 ( D^2 + (a - 1)D + b )y = 0 ] 其特征方程为： [ r^2 + (a - 1)r + b = 0 ] 通解形式由特征根 ( r_1, r_2 ) 决定：

二阶线性微分方程： 1. 齐次方程：( y’’ + py’ + qy = 0 )（( p,q ) 为常数）}

[ r^2 + pr + q = 0 ] （特征根 ( r_1, r_2 ) 由求根公式 ( r = ) 确定）

（1）当 \( p^2 - 4q > 0 \)，特征根为两个不等实根 \( r_1 \neq r_2 \)：
\[ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]
（\( C_1, C_2 \) 为任意常数）

（2）当 \( p^2 - 4q = 0 \)，特征根为两个相等实根 \( r_1 = r_2 = r \)：
\[ y = (C_1 + C_2 x) e^{r x} \]
（\( C_1, C_2 \) 为任意常数）

（3）当 ( p^2 - 4q < 0 )，特征根为一对共轭复根 ( r_1 = + i, , r_2 = - i)（其中 ( = -, , = )）： [ y = e^{x} ( C_1 x + C_2 x ) ] （( C_1, C_2 ) 为任意常数）

2. 非齐次方程：( y’’ + py’ + qy = f(x) )（( f(x) )）} [ y = Y + y^* ] 其中：

• ( Y ) 是对应齐次方程 ( y’’ + py’ + qy = 0 ) 的通解（形式同上）；
• ( y^* ) 是非齐次方程的一个特解。

特解 ( y^* ) 的形式（按 ( f(x) ) 类型分类）

（1）若 ( f(x) = P_n(x) e^{x} )（( P_n(x) ) 为 ( n ) 次多项式，( ) 为常数）： [ y^* = x^k Q_n(x) e^{x} ] 其中： - ( Q_n(x) ) 是与 ( P_n(x) ) 同次的待定多项式； - ( k ) 的取值：( ) 不是特征根时 ( k=0 )；( ) 是单特征根时 ( k=1 )；( ) 是二重特征根时 ( k=2 )。

（2）若 ( f(x) = e^{x} ( P_n(x) x + Q_m(x) x ) )（( P_n, Q_m ) 分别为 ( n,m ) 次多项式，( , ) 为常数，( > 0 )）： [ y^* = x^k e^{x} ( R_l(x) x + S_l(x) x ) ] 其中： - ( l = {n, m} )，( R_l(x), S_l(x) ) 是 ( l ) 次待定多项式； - ( k ) 的取值：( + i) 不是特征根时 ( k=0 )；是特征根时 ( k=1 )。

（3）叠加原理：若 ( f(x) = f_1(x) + f_2(x) )，则特解 ( y^* = y_1^* + y_2^* )（( y_1^, y_2^ ) 分别是 ( f_1(x), f_2(x) ) 对应的特解）。

点火公式

点火公式用于计算正弦/余弦函数的( n )次幂在区间( [0, ] )上的定积分，核心形式为： [ _0^{} ^n x , dx = _0^{} ^n x , dx ] （注：通过变量替换( x = - t )可证明两积分相等）

设( I_n = 0^{} ^n x , dx )，则递推公式为： [ I_n = I{n-2} (n ) ] 初始条件： [ I_0 = _0^{} 1 , dx = , I_1 = _0^{} x , dx = 1 ]

（1）当( n )为偶数（设( n = 2k )，( k = 1, 2, )）：

[ I_{2k} = ]

（2）当( n )为奇数（设( n = 2k+1 )，( k = 0, 1, 2, )）：

[ I_{2k+1} = ]

伽马公式

• 对于 ( _{0}^{} x^n e^{-x} dx = (n + 1) = n! )： 这是伽马函数的定义式，当 ( n ) 为非负整数时，由伽马函数的递推关系 ( (x + 1) = x(x) )，且 ( (1) = 1 )，可推出 ( (n + 1) = n! )，该公式是伽马函数与阶乘的核心联系。

• 对于 ( {-}^{+} e^{-x2} x^{2n} dx = ( ) )： 令 ( t = x^2 )，则 ( x = )，( dx = dt )，当 ( x (-, +) ) 时，( t (0, +) )，且 ( x^{2n} = t^n )，积分变为 ( 2{0}^{} e^{-t} t^n dt = _{0}^{} t^{ - 1} e^{-t} dt )，这正是伽马函数 ( ( ) ) 的定义式，所以该公式正确。

• 对于 ( ( ) = )： 可通过泊松积分 ( _{0}^{} e^{-x2} dx = )，结合伽马函数定义推导得出，是伽马函数的经典特殊值。

• 对于 ( (x + 1) = x(x) )： 这是伽马函数的递推公式，通过分部积分法可严格证明，是伽马函数的基本性质之一。

• 要详细推导泊松积分 ( {-}^{} e^{-x2} dx = )（或半区间形式 ( {0}^{} e^{-x2} dx = )），可通过二重积分与极坐标变换**的方法严格计算，步骤如下：

设 ( I = {0}^{} e^{-x2} dx )，由于被积函数 ( e^{-x2} ) 无初等原函数，直接积分困难。因此构造 ( I^2 )，利用二重积分转化： [ I^2 = ( {0}^{} e^{-x2} dx ) ( {0}^{} e^{-y2} dy ) = {0}^{} _{0}^{} e^{-(x2 + y^2)} dxdy ]