常用公式与二级结论

常用公式与二级结论

行列式

1. 行列式的概念定义
2. 特殊行列式 - 对角、三角、范德蒙
3. 拉普拉斯定理
4. 行列式的计算 - 箭型、爪型、递推法、加边法
5. 克拉默法则的定义及解题
6. 讨论|A|=0的情况
   1. 关于A的秩的表达 - 至少有r阶子式不为0，且A中任意r阶以上子式全为0
   2. 秩小于n
   3. Ax=0有n-r个解
7. 乘积的情况
   1. AB=0
      1. B的列向量都是AX=0的解
      2. r(A)+r(B) <= n
   2. r(AB) = min[r(A),r(B)]
   3. r(A+B) <= r(A) + r(B)
8. 证明行列式为0的思路
   1. 秩小于n
   2. Ax=0有非零解
   3. 反证法
   4. 所有特征值乘积

矩阵

1. 概念
2. 特殊矩阵 - 单位矩阵、转置矩阵、对称矩阵、正交矩阵、伴随矩阵、数量矩阵
3. 矩阵的加减乘除运算
4. 伴随矩阵常用公式
   1. AB伴随开括号交换次序
   2. 取逆与转秩均可交换括号
   3. A ∗ =∣A∣⋅A ^ −1
   4. 伴随矩阵的秩
      1. 原矩阵的秩为n - n
      2. 原矩阵的秩为n-1 - 1
      3. 其他 - 0
5. 可逆矩阵的运算公式
   1. AB取逆交换次序
   2. 转置与n方均可交换秩序
6. 矩阵的秩
   1. 行秩等于列秩等于秩
   2. A、A转置、AA转置的秩相同
   3. 乘以一个可逆矩阵不改变原矩阵的秩
   4. 同型矩阵秩相减<相加减的秩<秩相加
   5. 同型矩阵秩相同，相当于两矩阵等价
7. 初等矩阵
   1. 左乘初等矩阵等于行变化
   2. 右乘初等矩阵等于列变化

向量

1. 向量及其运算
2. 向量组的线性相关性和线性表示
3. 列向量线性无关等价于AX零解、行向量线性无关等价于ATX零解

线性方程组

1. 线性方程组的表达式
2. 线性方程组的解、童姐。特解、基础解系
3. 两个方程组有公共解或同解的情况
   1. Ax = β 有唯一解  ⇔ r(A) = r(A, β) = n（其中n为A的列数）
   2. Ax = β 有无穷多解  ⇔ r(A) = r(A, β) < n（其中n为A的列数）
   3. Ax = β 无解  ⇔ r(A) ≠ r(A, β)
   4. r(A) ≤ r(A, B)
   5. r(AB) ≤ r(B)，且 r(AB) ≤ r(A)
   6. r(A) = r(A^TA) = r(A^T) = r(AA^T)
   7. 方程组 A^TAx = A^Tβ 一定有解，其秩的推导：r(A^TA) ≤ r(A^TA, A^Tβ) = r(A^T(A, β)) ≤ r(A^T)，结合r(A^TA) = r(A^T)，故r(A^TA) = r(A^TA, A^Tβ)，因此方程组有解。
4. 由解求原方程的特殊题型

相似矩阵

1. 用|xE-A|求特征值，再用特征值解方程求出特征向量
2. 特征值的性质
   1. 迹等于特征值之和
   2. 特征值之积等于A的行列式
3. 特征向量的性质
   1. 不同特征值对应的特征向量线性无关
   2. 不同特征值对应的特征向量之和不是A的特征向量
4. 矩阵相似与对角矩阵的条件
   1. n个线性无关特征向量
   2. k重特征值对应k个线性无关的特征向量
5. 抽象矩阵的相似问题

实对称矩阵

1. 性质
   1. 必相似与对角矩阵
   2. 可用正交矩阵相似对角化
   3. 不同特征值对应的特征向量两两正交
2. 相似对角化的步骤
   1. 求特征值
   2. 求每个特征值对应的特征向量
   3. 单重特征值只需单位化；多重特征值需要进行施密特正交化，再单位化
   4. Q^TAQ = Q⁻¹AQ = Λ
3. 施密特正交化的步骤 $$ \begin{cases} \boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_i = \boldsymbol{\alpha}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_j)}{(\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\beta}_j)} \boldsymbol{\beta}_j \quad (i=2,3,\dots,k) \end{cases} $$其中括号表示内积

二次型

1. 二次型的概念
   1. 表示
   2. 标准形
   3. 标准化(实对称矩阵可通过正交矩阵标准化)
   4. 惯性指数 -
   5. 惯性定理 - 可逆坐标变化不改变正度惯性指数
   6. 规范形
   7. ∃ n阶可逆矩阵 P,  P^TAP = B
   8. 实对称矩阵形似是合同的充分不必要条件
2. 化为标准形的方法
   1. 正交变换
   2. 配方法
3. 正定二次型与正定矩阵
   1. 概念，左乘列右乘行始终大于0、
   2. 判定
      1. 二次型正定⇔特征值全大于0
      2. 二次型正定⇔顺序主子式全大于0
      3. 实对称矩阵正定⇔合同于单位矩阵
      4. 实对称矩阵正定⇔正惯性指数=n=矩阵的秩
      5. 实对称矩阵正定⇔存在可逆矩阵，使得A = P^TP

三级结论

1. A^2=A
   1. r(A)+r(E-A)=n
   2. 所有特征值只能为0或1且一定可相似对角化
   3. 任意高次幂恒等于A
   4. E-A的列向量都为Ax=0的解
2. A的秩与ATA的秩相等
   1. 等价于两个线性方程组同解
   2. AX必然是ATA的解
   3. 右边左乘x的转置凑两项

矩阵	( )	( )	( )	( )	( )	( )	( )	( )
特征值	( )	( ^n )	( + k )	( f() )	( )	( )	( )	( )
特征向量	( )	( )	( )	( )	( )	( )	( )	—

矩阵	( A )	( A^*  (
特征值	( )	( )
特征向量	( )	( )